cinderella

1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在

A 周五
B 周六
C 周日

Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n个随机变量分别大约在 1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。

2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为

A 有一把赢了巨多
B 一直在慢慢的赢
C 两种情况都有可能

Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。

3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）

A 按规律等间隔选取测量点会测得准些
B 随机选取测量点会测得准些
C 两种方法差不多

Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和 Monte Carlo Sampling之间的关系

4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为
      
A 0.1
B 0.2
C 0.3
D 0.4

Answer: D. 直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张的时候多少会出现一些反复。实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系，如果得票比例为a:b(a>b),则这个概率为(a-b)/(a+b)。

5.  你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法，一种是每次赌10块，一种每次赌1块，你决定都是输光或者赢到100块就走，则

A 两种方法输光的概率一样
B 第一种输光的概率较大
C 第二种输光的概率较大

Answer: A. 不管什么赌法都不会改变这个概率。我认为这是随机过程中一个比较简单但是很有意义的结论，意思就是说you can't beat the system。这件事情说明了对于像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性，则其实怎么操作结果都是一样的。因此重要的在于发掘其中的非随机性。另外，到100的概率很容易计算，因为初始值是10，假设到100的概率为p，则有100p*0(1-p)=10，也即p=0.1

6. 100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是    

A.  0-0.1
B.  0.1-0.2
C.  0.2-0.3
D.  0.3-0.4

Answer: D.这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为e^-c，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为e^-1.

7、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在   
    
A.  80%-90% 
B.  90%-95%
C.  95%-99%    
D.  99%以上

Answer: D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9，一共有9个9，尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。。只是我们不注意我们抓好牌的时候罢了。

8. 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人最多   

A.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止
B.  每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止
C.  每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止
D.  以上几个国家最后男女比例基本一样

Answer: D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。

9. 实验室测试灯泡的寿命。在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡  

A.  那个灯泡的寿命期望也约为1小时
B.  那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍
C.  那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2
D.  以上说法都不对

Answer: B. 这个题可能稍难。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持 1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

10. 如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则  
 
A.  这个群体最后会灭绝
B.  这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡
C.  这个群体最后将爆炸，人口将到无穷
D.  不一定会发生什么

Answer: A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和后面的一道题道理是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。

11. 给一个1-n的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是 （如 n=5 则51324 与原来位置只有3是相同的）   
    
A.  1
B.  log n
C.  ln n

Answer: A. 这个题要去算有几个相同的概率是比较难的，不过实际上有一个很简单的方法。在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/n，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均总是有一个数与顺序是相同的。这个题会非常经常出现在考试和习题中。

12. 如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该
    
A.  换
B.  不换
C.  换不换都一样

Answer: A. 这个是网上非常经典的一个问题了。不换正确的概率是1/3，换正确得概率是2/3。我比较喜欢这样去想，试想一下如果有100个门，你先选定1个，然后主持人打开98个空的，然后给你机会换不换。我想如果这样，你不难做出正确的选择。

13.  以下那件事情发生的期望时间最短  
   
A.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间
B.  一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing WelcomesYou"的时间
C.  在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间

Answer: B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。


14,  美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则大约收集多少可以收集全  
    
A.  200
B.  300
C.  400
D.  500

Answer: A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约nlogn个。大约思路是收集第k个时候需要大约n/(n-k)次。平时我们收集一些食品里的卡片，也都遵循这个规律，不过多数时候每种卡片的数量都是很不同的。还记得小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收集到任何一个苹果。

15.  假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录  
    
A.  7
B.  10
C.  15
D.  32

Answer: A. 这是所谓的破纪录问题。假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有1+1/2+1/3+...1/n次破纪录，也即约为logn次。

16. 在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大  
    
A.  2-2
B.  3-1
C.  4-0

Answer: B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。但是如果有奇数张，则最平均的就是最可能的


17. 如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况  
    
A.  此物体无穷多次回到原点
B.  此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点
C.  此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上

Answer: B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（尽管回来的平均时间不是有限的），而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维的某改革坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。

18. 扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少  
  
A.  100
B.  13
C.  9
D.  4

Answer: B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs.答案应该是log_2^n.大约为13.

19. 有一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则
    
A.  股票在任何时刻期望价值为1
B.  股票以概率1变成0
C.  A和B都对
D.  A和B都不对

Answer: C.这个可以参见我转载的文章The Flaw of Average和我写的文章Life is a Martingale. 也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%，第二天涨10%，最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。

20. 当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学  
    
A.  按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
B.  按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质
C.  以上都可以
D.  以上都不可以

Answer: A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。

     哪怕小潘同学早1分钟算好帐，我们就能万无一失地在那位看起来酒足饭饱后抱着篮球晃晃悠悠的大叔借着惨淡虚弱的灯光以及据说是好多年一遇的明月光摸索到球馆并拉开大门前至少1秒钟离开。。。经历了16点之后独守空堂的4个小时，电话铃显得格外不合时宜：现在人多么——不~~这会~~没人~~哦，那你们开么——你要来么——我就问问，今天不是过年么，那算了——你来我们就开呗——你开我们就去呗——那来吧，我开~~——不用了，大过年的不太合适。。。我一边招呼小潘小彭赶紧点货算账一边打心眼里感谢这位爷八辈祖宗。窗户外火树银花噼里啪啦搞得我也贼痒痒，吃了应景的团团圆圆（不是熊猫），顺便跟小孩们分析了一下为什么北京人会如此重视元宵佳节。

    

     扯远了，开头的那幕悲剧还是发生了。我本来想表述的是由于员工效率不高，导致我提前开溜的小算盘落空——后来发现这其实是让我少犯了一次错误。我现在不当上帝了，有些事情是不能恣意妄为的。过了今天，这个年算是过完了。很奇怪，长这么大，第一次觉得年真的就是传说中的妖魔鬼怪牛鬼蛇神——凶恶、艰险、可怕，那些不美好的、不顺利的、不安全的东西在过年的那段时间总是挥之不去。初五在Showtime的帮忙下，放了两挂小鞭，耳鸣和火药味共同催化了俺飘飘欲仙的幻觉：年，你赶紧走吧。。。

 

     回老家，仅是片刻逗留，但还是让我放慢了节奏，发觉自己逝去了太多也即将承担更多。曾经一直以为痛苦是成熟的充分必要条件，现在突然感到这不过是我摆平痛苦的一种可笑的说辞。不是每件事情都要有理有据有凭有证，但要人有思考、有态度、有担当。在北京-温州的航班上阅读《customer value management》的时候，我想不到自己会去做网站；在地下007头顶酷暑以及楼上4层写字楼轰轰烈烈讨论的时候，我想不到自己会去做球馆；在和蒋爷几乎左一环右一环的周游北京城中村的时候，我想不到自己会发现这里——十里堡1号院——地址中带有十里堡但却离人们熟知的真正意义上的十里堡有点远的地方；在面对满目连个疮痍都没有的场地的时候，我想不到自己能指使各色无理懒散狡诈的工头——当然我是花了钱的而且坚决没有过分拖欠——把这里化成一个具备欣欣向荣潜质的篮球馆；在冷冷凄凄的度过只有2名顾客光临的某天的时候，我想不到这里会有后来那么多的精彩；在很多很多时候，我都想不到。。。

 

     再有2个小时，烟火就会停止了。我们可以跟过去的一年说拜拜了。新的年，你丫给我听好了，你敢不来么，咱们谁怕谁！

    

谢谢各位祝福，谢谢校内提醒功能。

（生日赶上过节好不方便的，我考虑以后重新定义一个日子。。。）

过生日是个很麻烦的事情，要考虑跟谁过怎么过，朋友们要考虑送什么礼物，日子久了更要礼尚往来。。。还是喜欢在需要的时候送需要的东西，不管日子，无论是送人还是被人送。小时候因为能吃到奶油蛋糕而眼巴巴的盼望生日，至今没有理解生日的意义：是提醒自己忘记还是怀念，是相信梦想还是继续现实。

久没联系的哥们儿注意了，我，除了不一样的地方其他还和从前一样。虽然我暂时对过生日这个事件没什么认知，但对在过去若干年中陪伴过我的家人、朋友，无论多久，都心怀感激。谢谢你们的包容和信任。

（还要声明一下，我真的是又丢了手机。拜托发祝福的段子时一定要留名，我已经不好意思再问你们是谁了。。。）

原谅我没有将文字配图一并奉上，因为我好像不会。。。

故事还有很多，看你想听哪一段。。。

 

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另外，本人手机又丢了，而且又没备份号码。麻烦各位再告诉我一遍，留言、短信皆可。